求解熱時間常數(shù)譜函數(shù)

　　我們再看回R（τ），其實如果我們知道了R（τ）的表達式，那么我們就相當于知道了這個系統(tǒng)的熱阻和熱容的關系，也就是知道了這個系統(tǒng)(福斯特網(wǎng)絡)的所有結構。那么為了得到我們系統(tǒng)的熱阻熱容結構，下面就開始把R（τ）求出來：

　　觀察右邊的形式，其實就是信號處理里最常見的卷積形式，即

　　到這里我們就得到了R（τ）的解析式，離結構還差一步之遙!

　　我們看看(式9)，W_z（Z）是已知的可積函數(shù)，d／dz·a（z）是單位階躍響應(時間對數(shù)化后)的微分，也就是導數(shù)，我們都可以用計算機算出來。剩下的就只有反卷積運算了。反卷積運算的方法有很多，比如有貝葉斯反卷積法以及傅利葉頻域反卷積法，都是很成熟的算法，這里要涉及的知識較多，就不一一展開了。

　　現(xiàn)在我們得到了R（z）——熱時間常數(shù)譜函數(shù)，它實際的圖像如圖9所示。

圖9 實際樣品的熱時間常數(shù)譜圖

　　這個函數(shù)圖像就是經過上述的數(shù)學變換及數(shù)學運算得出來的，我們下面就利用這個函數(shù)把熱阻熱容結構剖析出來。

　　從圖里我們可以明顯看出對應不同的 其幅值有不同起伏變化，表現(xiàn)出一定的離散性，我們就由此來定義這個熱時間常數(shù)譜函數(shù)：

　　簡單來說就是把這個函數(shù)切成無數(shù)個小塊，把這些小塊都拼接起來就是R（ζ）了。而這每一個小塊就是對應1階福斯特結構，如圖10所示。

圖10 熱時間常數(shù)譜函數(shù)圖像與n階福斯特網(wǎng)絡對應關系

　　根據(jù) 的定義，我們可以得到

　　福斯特-考爾網(wǎng)絡轉換

　　很多讀者應該會認為到這里已經結束了，但事實上，這只是對應福斯特網(wǎng)絡的熱阻熱容值，

　　而在福斯特網(wǎng)絡這個模型里的熱容是節(jié)點到節(jié)點的熱容值，它與器件的實際情況不一致，是沒有對應的物理意義的。為什么呢?這里我們把這個小問題留給大家(提示：用電容來舉例，假如一個系統(tǒng)由若干個電容串聯(lián)，系統(tǒng)的總容值與各個電容的關系怎么算?)。因此福斯特結構并不適合描述我們半導體器件的熱阻熱容特性。

　　雖然福斯特結構不適合用來描述我們實際器件的情形，但有另一種結構卻可以與它相互轉換，這個結構我們稱為考爾(Cauer)結構，如圖11所示。

圖11 a)福斯特結構;b)考爾結構

　　福斯特結構與考爾結構對于單端無源RC網(wǎng)絡都是等價的，因為他們可以相互轉換，但考爾結構與我們談到的器件的熱阻熱容結構可以說是完全吻合，我們之所以談了這么多福斯特結構是因為它的時間常數(shù)計算是一種很優(yōu)秀的數(shù)學手段，同時減少了很多復雜的計算。

　　由于篇幅有限，這兩個網(wǎng)絡的轉換過程我們這里就不做多述了，經過轉換之后我們會得到的R_thi和C_thi的新的表達形式。

　　繪制結構函數(shù)

　　我們得到了考爾網(wǎng)絡對應下的熱阻R_thi和熱容C_thi，但這些參數(shù)都不能直觀地表示出來，我們現(xiàn)在用圖3構造的模型把這個阻容結構表示出來，如圖12所示。

圖12 理想一維熱傳導模型

　　圖12中： 表示平行于熱流路徑的材料厚度;A表示垂直于熱流路徑的材料橫截面積; 表示材料的熱導率; 表示單位體積的熱容值。我們可以得出總熱阻與總熱容的表達式：

　　利用(式13)與(式14)，與考爾網(wǎng)絡對應下的熱阻R_thi和熱容C_thi結合，我們就得到我們苦苦追求的結構函數(shù)，如圖13所示：

圖13 考爾結構與結構函數(shù)的對應

　　至此我們對結構函數(shù)的推導終于結束了～

　　在最后，我們再把整個推導用流程圖的方式展示出來，如圖14所示：

圖14 結構函數(shù)推導流程圖